2009/4/13

2009年度そのq  
2009年度の担当は、中学1年生の数Aと、高校3年生の数Cとなりました。
高校3年生ではまず微分方程式の基本を扱った後、
テストゼミ的展開とする予定ですので、
そこでの重要事項、発展事項などを付記する予定です。
現役生はとにかく功を焦らず、じっくり理解する一学期であって欲しいと思います。
既卒生で予備校に通っている人は、とかく1学期は知っていることや解けることばかりの場合が少なくないのですが、そこで
       安易に授業を「切る」
とろくな事がありません。
予備校に行っているのですから、ゲタを預けてしまうのも手です。頑張ってください。
なお、
        講習は月曜日
を予定しております。
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2009/3/10

(無題)  
今日で前期の発表も一段落しました。
昨日今日で約100のアクセスをいただいていますが、
次回の更新は、新学年が発足する

     4月の上旬(予定)

です。
担当できるか否かは別にして、新高3生には、
今回の入試で感じたこと、既卒生向けには
今後の展望などをお伝えできればと考えています。
現高3生の皆さんには約2ヶ月ご愛読頂き、心から感謝いたします。
後期がある人は精一杯頑張ってきてください。
(蛇足ながら、

 東京工大後期は「反転」(双曲線→レムニスケートあたり)

をご注意ください)
では登校日、卒業式でお会いしましょう。

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2009/3/8

東京大学新聞  
4日発行の東京大学新聞(一部350円,上野駅などの売店でも購入可)
によれば、今年の前期の数学は(やはり)

       難化

とのことです.ご参考までに.
また,いわゆる合格への必勝法として,
どの問題をとって,どの問題に見切りをつけるとよいか,
などのアドバイスが書かれています.
本ブログとほぼ同じ見解でした.
興味ある人は一読を勧めます.
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2009/3/1

後期対策  
後期試験はどの大学も過去問をやるに限りますが、
しいて言えば、難関校においては、

        二次曲線の標準化 
        微分方程式関連

を勉強されることをお勧めします。
キーワードは“融合”です。
前者は代数と幾何と微積の、後者は物理との,それぞれ融合です。
後者では,前期で見られなかった“水の問題”などは要注意。
また、速度加速度関連も要注意。これは本年の九州大学の問題を
お勧めします。
また、分野に関係なく、本年の京都の甲乙、東京工大の4番は
お勧め問題です。
ご参考までに。

(二次曲線の標準化については資料がありますので、希望者は
水曜か木曜にお越しください.お渡しします.)

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2009/2/27

2009東大,東京工大  
東大・東京工大の出題を解いてみました。
速報としてお読みください。

以下、(1)易〜(5)難 で評価します。

東大

概評:去年ほどではないが今年も中々厳しい出題。
曰く、難度ではなく(難度は予想通り“差のつく”標準問題がほとんど)
完答しにくいという意味で。
結論から言えば、理I,IIであれば,3問分で十分圏内か?!

1.整数 (4) ただし頻出ではある。
2.行列 (3) 完答するならこれか?!
         これを完答できればアドバンテージ大。
3.確率 (2) 近5年の確率では一番易しいと思われる。
         ただし、各問題の関連がよかう分からない。
         本問の0点は避けたい。
4.積分 (4) 去年の求積よりは穏やかも、最後の答えまで
         たどり着くのは難しい。見当違いの方針を
         していなければ途中まででよしとしたい。
5.不等式(4) 理系ファイナルで同様の出題あり!!
         あれを復習していた人は多少アドバンテージがあったはず。
         よかったですね♪ただし、完答は難しいし,記述が難しい。
6.ベクトル(5)いやぁ,ごついごつい!!
         これは0点でなければよしとしたい問題でしょう。

平均難度(3.7) 試験合格最低線の理想的なとり方は,
          1(1) 2(1)(2) 3(1)(2) 4(1)
          5(1) 6は1点でもよい!
          といったところか。
1が(2)まで取れていて、2が完答なら数学では確実にに圏内入りのはず。
今年の出題が易しいのでは?と思ったあなたは相当、実力があるはず。
今年は大いに差がつくセットでしょう。

東京工大

概評:例年よりは穏やか。ただし易化ではない。難易がはっきりしているという点で。全体として、復古調の出題。80年代の過去問といわれても一瞬信じてしまいそう。いかにも新作の労を惜しむ東京工大とはいえ、思わず「らしいなぁ・・・」と笑ってしまいました。予想できた線でのセットなので自分としては満足です。
2問半あれば十(二?)分に圏内でしょう

1.多項式の微積分(3) やっぱりきましたね!
             東京工大は理系の穴である多項式の微積を
             出してくるのです。予想では3次曲線でしたが、
             放物線で収まりましたね。これは完答しないと
             いけません。
2.不動直線(4)    よかったですね!!まぁ、頻出問題ですから
             的中というのも・・・ね。
             ただし、少なくない受験生は変換行列がどれを
             指すのか戸惑ったはず。
             不動直線&不動曲線といい続けてきて、それを
             信じた人はともかく、一般にはこれは差がつく
             問題でしょう。80年代の問題みたいです。
3.整数(4)      これは記述しにくい。白紙でなければよし、
             でしょうか。
4.空間図形(4)    これまた80年代の再来か?!
             空間における直線や平面に習熟していないと
             手も足も出ない感じです。
             これも差がつく問題です。

平均難度 (3.8) 辛うじて東大より全体の難度は高いか?!
試験合格最低線のとり方は、1完答 2,4で一問分 3を白紙にしないこと、といった感じか?!

尚、京都(乙)で2題的中でした。曰く、等長変換と極座標表示の回転体の体積
でした。後期対策にお勧めです
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2009/2/23

カウントダウン問題I  
いよいよ最終回になりました。
ご愛読を心より感謝申し上げます。
この後は、この掲示板は東大や東京工大などの2009問題の
講評を述べる予定です。

さて,カウントダウンのラストはこの問題です;


(Q)
次の等式が成り立つように,定数aの値を定めよ。

lim {x^2+(a+1)x-2a-1}/(x-a)=4 (x→a)


(A)a=1

へっ?!これがラストなの?と思った人は多いでしょう。
しかし,この問題では,
必要条件としてa=1と-1/2がでてきて,
十分条件をチェックすると,a=1のみが答えと分かるのです。

この手の問題は往々にして、必要条件が十分条件
にもなっているものです。
したがって、十分性をチェックしない人や参考書もまた少なく
ありませんし、チェックする人でもおざなりに「逆に・・・」
と書いておしまいという人が少なくないでしょう。

これはシンプルにして強力な例ですから覚えておくに
越したことはないように思います。
特に東京大学!!
直接,この問題が問われることはないでしょうが、
定義に根ざしたものを出題したり,基本定理を証明させて
こないとは限りません。加法定理は有名ですね。
その一助になれば幸いです。

この例は私が作ったものではなく、数研出版刊の
「数研通信NO.62」にある岡山朝日高校の石井一郎氏
の手によるものです。

また,

S_n=n^2+n+1の場合にa_n=2n(n≧2)であり,
a_1=3


であり,S_nからa_nを求める場合に,
a_1とa_n(n≧2)が異なる例として覚えておかれたい
と願います。これも同書にある,湘南高校の
石濱文武氏より紹介されている例です。

さて,もう一問。何度も出している問題ですが、

(Q)
領域sinx+cosy>0(0<x<2π,0<y<2π)を描け。


このままでは和→積が使えませんが、

      cosy=sin(y+π/2)

という,言われれば当然の式で変換すれば和→積が利用できて
境界線を求めらることができてOK,というわけです。
いわゆる“アーガイル模様”みたいになりますね。
(解答は略。20分で描ければ十分!)

明日は,来る試験のシュミレーションを3通り位しておくと
よいと思います。

足きりのあった大学で特に言えることですが、

自分のできない問題は、上位20%以外の受験生はできない、
あるいはキリキリ舞いさせられているものです。
ちょっとしたミスのみならず、各教科で大問まるまる
お手上げな場合があっても合格する例は
稀ではありません!


とにかく、リラックスして受けること、これに尽きます。
頑張ってきてください。
試験リポート、吉報をお待ちしております。



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2009/2/22

カウントダウン問題H  
差のつく標準問題・体積編です;

(Q)
xyz空間の中で、xy平面に楕円 x^2/9+y^2/4=1
を考え,これをy軸のまわりに回転させて平面x=t (0<t<3)
で切る.
(1)点(t,y,z)がこの切口の曲線上にあるとき,yとzの関係を式で
表せ.
(2)回転体の体積を20:7の比に分けるtの値を求めよ.
ただし,楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1の面積はπabである.


1989年 奈良教育大学の出題です.回転楕円面がテーマですが,
曲面の方程式が立てられますか?ということに帰着します。
この問題と,理系ファイナルでの円錐・円柱で,曲面は万全でしょう。
理想解答時間は30分です.がんばってみましょう.
(A)
(1)9y^2+4z^2=36-4t^2(2)t=1


いよいよ次回がカウントダウン最終回です.
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2009/2/21

カウントダウン問題G  
カウントダウンFへの質問で、

内角が60°なら外角は300°ですよね?という質問を数件もらいましたが
もちろん違いますよ!外角は、180−60=120°ですのでお間違いなく!
初等幾何は久々だからついうっかりがありますね。
解答はおいてありますのでご自由にお取りください。

さて、今日の問題は1年前から直前に提供すべくあたためておいた問題です。
フェイントということではなく,

計算力の有無がものをいう典型的な差のつく標準問題

です。標準解答時間は20分です。

ちょうど20年前の1989年福島大学の問題です;

(Q)
円(x-7)^2+(y-1)^2=1で囲まれる部分を直線3x+4y=0を軸として
その周りに1回転させて得られる回転体の体積を求めよ。


(A)10π^2

※ まずは“検算用”のパップス・ギュルダンの定理で答えだけは
計算してしまいたいですね.

さぁ,カウントダウンまであと2回ですね.
最後までがんばっていきましょう!

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2009/2/19

カウントダウン問題F  
今日のはフェイント中のフェイントでしょう.

1999年和歌山大学の問題です.

(Q)
鋭角三角形ABCの各頂点A,B,Cから対辺におろした
垂線の足をそれぞれ,P,Q,Rとするとき,
次の命題が正しいことを証明せよ.
(1)∠APQ=∠APR
(2)点Aは△PQRの傍心である.


さて,どの解答集を見ても(1)ができれば(2)は簡単,
となっているのですが,果たして

           傍心

という用語を見て暗雲立ちこめないか?ということを
問いたいのです.
立ちこめるという人は直ちに,公式集などで確認して
おきましょう
(老婆心ながら下にも書いておきます).
確かに傍心が問われることは,
オリンピック開催周期並みではあるのですが,
五心のうちの四心までは大丈夫でしょうから,定義を
覚えるぐらいはして試験に臨みましょう.
これが万全、というものです.
解答はいろいろ考えられますが,一般に,

  “幾何が苦手な人は,正弦定理の利用を狙っておけ”

というのがメッセージです.
もし傍心に関する問題が出たらやはり怖じ気づく
でしょうから完答は狙わず,半分取れればよし,という
気持ちで行きましょう.
否,それだって充分すぎるのです.浪人も傍心はノーマークでしょう.
まぁ,二等分線が関わるのだから,

       “二等分線の定理”

ベクトルなら“単位ベクトルでのひし形作り”


に留意して白紙にしなければいいでしょう.お気楽にお気楽に♪

解答の一例は明後日の昼までに資料室前に置いておきます.

☆ 傍心の定義(自分でも調べること!)

三角形の1つの頂点における内角の2等分線と,他の
2つの頂点における外角の2等分線との交点を傍心という.

(モデル図を描いて実感しておきましょう)

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2009/2/18

カウントダウン問題Cの訂正  
カウントダウン問題Cの
(Q2)の問題文に誤りがあるのでは?
というご指摘をいただきました.
条件(i)で2つのベクトルのそれぞれの係数が1
となっていましたが,正しくは2と1です.
早速訂正させていただきました.
ご指摘有難うございました.感謝申し上げます.
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