S2's Blog　-teacup-

　ある方から、「日々のチャレンジ演習古いし、もはや難問集じゃないよ」というツッコミをもらったんで、ちと趣向を変えて、新しさ重視で「わくわく算数100題」に変えました。

　大数の「合否を分けたこの一題」的なポジションでもあるらしいので、難問集とはいえませんが、取りあえず見方は、「日々のチャレンジ演習」と同じスタイルを取って行きます。

　問題の詳しい内容を知りたい、という方は、

　東京出版の紹介ページ；
　http://www.tokyo-s.jp/products/s_zoukan/wakuwaku/index.html

　等から購入して実際に手にとって見てください。
　
　今回はp6の灘の問題のみ。
　（最近忙しいんで一題の時も多くなるかと思います。ご了承ください。）

　この問題の本質は、

　「整数の各桁の数字の和を3（9）で割り切れる場合、その数は3(9)の倍数である」

　ということだけです。
　　
　27と81、という数は要するに 3の3乗 と 3の4乗　なわけで、これを積の形に分解すると、

　27=3*3*3=9*3 と、 81=3*3*3*3=9*9

　になるわけですが、この問題では、27で割り切れるけど、81では割り切れない、といっているわけだから、その違いは、

　「�@第一段階として９で割り切った後に、�A更に3で割り切ることは出来るけど、�B9では割り切れない。」

　という�@�A�Bの合計3つの条件をクリアする数を考えればよいわけです。

　207,2007,20007 ・・・・と続いていく数は、当然各桁の数の和が9であることから、9で割れることは自明です。というわけで、�@の条件は全部クリア。

　次に�Aと�Bのふるいをかけるわけですが、一度割った数が、今度は3で割れるが9で割れないような数を調べればよいわけです。

　ところで、�Aについて、計算すればすぐ分かりますが、

　207÷9=23
2007÷9=223
　・・・・・

　というように、要するに、下一桁の3以外は2であることが分かります。

　そういうわけで、先ず、3の部分は3の倍数だから割り切れる。ということは、各桁の2の数を足し合わせたものが3の倍数になればよい、つまり、2と3は互いに素なわけですから、2が3の倍数の数だけあればよい、ということになります。これで候補が絞れます。
具体的には、

　20007
　20000007
　20000000007
　・・・・・
　（０が3つずつ増えていることに注意。）

　ということになります。

　更に�Bについては、その中から9で割り切れないものを順に探し出すと、

　20000007

　が条件に沿う数であることが分かります。

　他にこの問題でつまずくところがあるとするならば、27=9*3と分解せずに、3*3*3と分解してしまい、3で2回割る、というタコな計算をしてしまうかどうか、というところは、一つあるかもしれません。

　200・・・007という数字を一目見て、

「ああ、取りあえず９の倍数で割れるじゃん」

と見えるかどうか、というのは時間効率からしても分かれ目になるかとは思います。もっとも灘受験層にそんなタコな計算をする学生は殆どいないと思いますけれども。

　今ひとつは、27も81も、3のべき乗の形をしていることが見抜けるかどうか、というところもポイントかもしれませんが、一度９で割ってしまえばあとは一直線だとは思います。

　上のように3で割れるか、9で割れるかで判定しても良いんですけど、単純に、

　「3で一回は割れるけど、二回は割れないやつをさがす」

　ということでもよいわけです。


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